Teoria Schroedingera atomu wodoru
Równanie Schrrödingera
Znajomość ścisłej postaci funkcji falowej jest niezbędna do określenia ruchu cząstek w konkretnych przypadkach (zjawiskach fizycznych). Przykładem może być funkcja falowa \( \psi \), opisująca ruch cząstki swobodnej, która została przedstawiona w module Funkcja falowa.
Taką ścisłą postać funkcji falowej dla dowolnego układu można znaleźć, rozwiązując równanie Schrödingera. Jest to równanie różniczkowe opisujące zachowanie się układu kwantowego w czasie i przestrzeni, które w szczególności przyjmuje postać
gdzie \( E \) jest energią całkowitą cząstki, \( U(x) \) jej energią potencjalną zależną od jej położenia, a \( {\hbar =h/{2\pi}} \). Zależność ( 1 ) przedstawia najprostszą formę równania Schrödingera to jest równanie w jednym wymiarze i niezależne od czasu.
Rozwiązanie równania Schrödingera polega na znalezieniu postaci funkcji falowej \( \psi \) i wartości energii cząstki \( E \) przy znanej działającej na cząstkę sile zadanej poprzez energię potencjalną \( U \).
Kwantowomechaniczny opis atomu wodoru
Omówimy teraz zastosowanie teorii Schrödingera do atomu wodoru. Ten przypadek ma szczególne znaczenie, gdyż był to pierwszy układ, do którego Schrödinger zastosował swoją teorię kwantową i który stanowił pierwszą jej weryfikację.
Ponieważ atom wodoru jest układem trójwymiarowym równanie Schrödingera dla atomu wodoru ma bardziej skomplikowaną postać niż podane wcześniej równanie ( 1 )
Zgodnie z równaniem energia potencjalna dwóch ładunków punktowych (elektronu i protonu) znajdujących się w odległości \( r \) jest dana wyrażeniem
Równanie Schrödingera ( 2 ) rozwiązuje się zazwyczaj we współrzędnych sferycznych \( (r, \theta, \phi) \) (zob. Rys. 1 ) bo energia potencjalna oddziaływania elektronu z jądrem (równanie ( 3 ) ) zapisana we współrzędnych sferycznych jest funkcją tylko jednej zmiennej ( \( r \)) podczas gdy we współrzędnych prostokątnych funkcją wszystkich trzech współrzędnych \( (x,y,z) \).
Rozwiązanie równania Schrödingera w trzech wymiarach jest problem trudnym matematycznie między innymi ze względu na obliczenia w trzech wymiarach. Dlatego nie będziemy go rozwiązywać, a jedynie omówimy wybrane rozwiązania tego równania dla atomu wodoru.